Нелинейный мир

Доклады

Чередование детерминированных и хаотических режимов поведения системы на примере дискретных отображений

Чернавский Д.С., Никитин А.П.1, Чернавская О.Д., Щепетов Д.С.

Физический Институт РАН, Москва, Ленинский просп., 53; chernav@lpi.ru

1Институт Общей Физики РАН, Москва, ул. Вавилова, 38; apnikitin@nsc.gpi.ru

Одномерные и многомерные дискретные отображения продолжают оставаться предметом активного научного изучения. В частности, исследуются характеристики динамического хаоса в этих отображениях и сценарии перехода к хаосу. Такие модели часто используются в естественных и технических науках, а также в экономике и социологии. Их решения качественно совпадают с решениями моделей реальных процессов, обеспечивая при этом наглядную интерпретацию результатов.

Общеизвестно, что компьютерный эксперимент играет всё большую роль при исследовании свойств динамических моделей. Он призван дополнить или даже заменить традиционный аналитический метод. При аналитических исследованиях фактически предполагается, что исходные данные (начальные условия и параметры) заданы с бесконечной точностью. Однако из-за того, что при компьютерных расчетах используется дискретное представление вещественных чисел и его точность всегда ограничена, эти подходы могут вступать в противоречие. Если процесс, описываемый моделью, динамически и структурно устойчив, то они приводят к одинаковым результатам. Если же процесс неустойчив, то малые различия начальных условий и/или параметров нарастают со временем, что приводит к большим расхождениям. В любой конкретной задаче параметры и начальные условия задаются с некоторой конечной точностью. Эта точность определяется целью постановки задачи и возможностями измерения физических величин. Очевидно, что её превышение нецелесообразно и, более того, может привести к артефактам, т.е. предсказанию эффектов, которые отсутствуют при менее и более точных расчетах.

В работе рассматривается математическая модель кубического отображения, бимодальная природа которого придает ему важные с практической точки зрения особенности. При изменении управляющего параметра в закритической области хаотическое поведение системы перемежается сравнительно узкими областями, в рамках которых образуются устойчивые притягивающие циклы, содержащие фиксированное число итераций. Проблема возникновения и исчезновения таких динамических окон важна и в фундаментальном, и в прикладном аспектах при прогно-зировании поведения системы. В хаотическом режиме горизонт прогнозирования ограничен, а внутри динамического окна — бесконечен (поведение системы жестко детерминировано). Переход в окно и выход из него зависит от изменения параметра и от начальных условий. Помимо этого в зависимости от деталей расчетной схемы (точности, характера округления) могут появляться окна-артефакты (отсутствующие при более или менее точном расчете) и/или исчезать реальные динамические окна.

Работа выполнена при поддержке гранта РГНФ №04-03-00069а.